La ley de las áreas es equivalente a la constancia del momento angular, es decir, cuando el planeta está más alejado del Sol (afelio) su velocidad es menor que cuando está más cercano al Sol (perihelio).
La demostración de la segunda ley de Kepler, se fundamenta en la conservación del momento angular lo cual es consecuencia de que la fuerza de gravedad corresponde a una fuerza central. Para ver esto, consideremos un planeta de masa, m, moviéndose alrededor del sol en una órbita elíptica.
La fuerza gravitacional que actúa sobre el planeta siempre se dirige a lo largo del radio vector, hacia el sol. Se le llama fuerza central a la fuerza de este tipo, dirigida hacia un punto fijo o en sentido contrario a él. El torque (momento de la fuerza) que actúa sobre el planeta debido a esta fuerza central es cero, ya que la fuerza F es paralela al radio r, esto es:
M =r x F = 0
Si consideramos que M = dL/dt = 0 , esto implica que el momento angular L(t) es constante, es decir no varía con el tiempo:
L = r x p = m r x v = vector constante (donde p = mv es el momento lineal)
Como L es un vector constante, perpendicular a a r y a v, vemos que el movimiento del planeta, su radio vector, r, y su velocidad, v, en cualquier instante están restringidos al plano perpendicular al vector constantes L.
Relacionándolo geométricamente podemos ver que el radio r barre un área dA en un tiempo dt. Esta area es igual a la mitad del área del paralelogramo formado por los vectores r y dr ( || r x dr || ) .
Como el desplazamiento del planeta en un tiempo dt es dr = vdt , obtenemos:
dA = 1/2 || r x dr || = 1/2 || r x vdt || = ||L||/2m dt
Por lo tanto,
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